# 用书屿读不放回抽取题：每走一层都更新剩余球数

语言：zh-CN
原文：[用书屿读不放回抽取题：每走一层都更新剩余球数](<https://allluckly.cn/guides/nasbook-without-replacement-colour-tree-notes/>)
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发布于: 2026-11-08T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-08T00:00:00+08:00
署名：Bison

以两红一蓝连续抽两球，分清分支条件、完整路径与事件合并，核对分母三变二。

概率树最容易错在第二层还沿用原来数量，或把某条条件分支当成整条路径的概率。本篇用书屿阅读题目，在自己的笔记里逐步展开两红一蓝、不放回抽两次的原创例题。它与放回抽取的条件不同，不能混用答案。应用不执行概率计算，树可在纸上画、结果用文字记；重点是保留题干、剩余状态与每一步乘加的理由。

## 先把随机抽取与不放回写进题干

在书屿定位合法教材里的相关题目，记书名、版本、章节和题号，并用可用书签返回。本篇自拟袋中有同样大小的两红球R1、R2和一蓝球B，每次从剩余球中等可能抽一球，抽出不放回，按顺序抽两次。只看颜色时R1与R2同红，但用编号区分实体球以便清点。把等可能、顺序、不放回三项写在笔记开头，不能仅留下两红一蓝。若原题写放回或同时抽取，另开记录，不为套本篇树形而改题干；不同条件可能需要不同样本空间。

## 第一层按三球状态分红与蓝

第一抽为红的概率写2/3，即三分之二；第一抽蓝为1/3，两条分支相加为1。这里2是红球数量，3是总球数量，不是二抽的次数。笔记先写根状态红二蓝一，再引出红、蓝两支，每支旁写概率。若把红与蓝各写1/2，回到实体球等可能条件：颜色不是等数量类别。不要用两种颜色就各一半的直觉覆盖计数；也不要从第一层已经有两个分支就误认后面每个分支都必须对半，本例第二层会出现确定事件与不可能事件。

## 抽到红后剩一红一蓝

沿第一抽红这条支走，袋内只剩一红一蓝，总数二，所以第二抽红为1/2，第二抽蓝也为1/2。把剩余状态直接写在该节点，分母从3变2是因为取走一球且未放回。若第二红仍写2/3，检查是否无意把取出的红球放回模型；若写1/3，则只改了分子没有更新总数。两种错误都应回题干修，不在最终答案旁硬改成正确数。这里第二层1/2是已经第一抽红条件下的概率，不能直接当两抽都红的整条概率。

## 抽到蓝后第二抽必为红

沿第一抽蓝这支，袋内剩两红零蓝，总数二，第二红为2/2即1，第二蓝为0/2即0。可以在检查树保留零概率蓝支并标不可能，也可成图不画，但笔记要解释为何没有蓝蓝。不能因为蓝支存在第一层，就强迫第二层也有同样非零蓝支。若把第二红记1/2，回剩余球清单读R1与R2都红，它们是两个实体结果却属于同一个颜色事件。条件已经改变，第二抽不是与第一抽独立的复制，这也是本篇与放回练习最需要区分的地方。

## 沿路径相乘，先得到有序颜色结果

整条红红路径是2/3×1/2=1/3；红蓝同为2/3×1/2=1/3；蓝红为1/3×1=1/3；蓝蓝为1/3×0=0。每一项保留两步因子，不只写末尾答案，这样能检查第二层条件来自哪支。路径概率不能把两段相加，分支相加只用于同一节点的互斥去向或完整事件的不同路径。若算出红红大于第一抽红的2/3，先查乘加是否混用。四条有序颜色路径相加应为1，零路径不增加概率，但仍能说明不可能结果在哪里被排除。

## 事件合并要说明是否在意先后

题问恰好一红一蓝时，红蓝与蓝红两条不同路径都算，概率1/3+1/3=2/3；题问先红后蓝时，只取红蓝为1/3，不能再加蓝红。题问至少一蓝在本例也为2/3，因为只有一枚蓝球，不可能两蓝；这个相等来自当前袋内条件，不是所有抽球题都相等。另写给定第一抽蓝，第二抽红为1，与完整蓝红路径1/3并列对照，避免把条件概率和交事件混称。每个答案旁保留一句事件原文，不只存一串分数，否则下次回看容易忘记到底算了哪一种问题。

## 用六条带编号微观路径复算

再列R1后R2、R1后B、R2后R1、R2后B、B后R1、B后R2六条有序实体路径，每条概率1/3×1/2=1/6。红红、红蓝、蓝红各对应两条，因此各1/3；没有B后B，因为第一抽后同一蓝球已离袋。若把六条颜色标签合并成三类就直接宣称等可能，推理仍不充分，应先凭实体等可能清点各类包含多少条。此处恰好每类两条是本例结果，不可推广。若原资料还有额外权重或大小差异，先核题干，不能沿用每条1/6的假设当成真实抽取事实。

## 退出再返回时重读三个条件

保存含题位、三项条件、节点剩余状态、路径乘积与事件合并的笔记，退出阅读再返回同一题号核对。不看答案先口述第二抽为什么分母是二、第一蓝后为什么第二蓝为零、恰好一红一蓝为什么要加两路。若其中一项说不清，回对应节点，不只重算最后分数。原文件无法选中题干时可手录短条件和位置，别宣称应用已自动抓取公式。以后练放回版应另开题目记录并明显写放回，不覆盖这份不放回笔记；两份对照的价值在条件不同，而不是互相改成同一个答案。

## 相关教程与资料

[书屿概率例题阅读：用四种结果分清互斥与独立](<https://allluckly.cn/guides/nasbook-probability-exclusive-independent-grid/>)、[书屿数学例题跟读：逐步记录符号、单位与代入来源](<https://allluckly.cn/guides/nasbook-worked-example-symbol-unit-log/>)。

资料核对：2026 年 11 月 8 日，依据 [书屿官方商店说明](<https://apps.apple.com/cn/app/id6766198898>)与 [Apple 版本查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=6766198898&country=cn>)，当前版本 1.1.4，最低要求 iOS / iPadOS 15.6。本文使用本地阅读、搜索、书签与笔记组织人工核对；样本和结论由读者记录，不假定自动识别图表、执行统计检验或验证证明。具体入口按安装版本和文件类型确认，练习不等于本轮逐项真机实测。

方法参考：[OpenStax 概率树与韦恩图](<https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-5-tree-and-venn-diagrams>)区分放回与不放回并说明路径乘法；两红一蓝和六条编号路径为本文自拟练习。