# VectorPaint 三对三连图：交叉不是节点，非平面性需要证明

语言：zh-CN
原文：[VectorPaint 三对三连图：交叉不是节点，非平面性需要证明](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-complete-bipartite-three-by-three-nonplanarity/>)
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发布于: 2026-11-14T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-14T00:00:00+08:00
署名：Bison

逐项连齐九边，区分一幅交叉图与不可无交叉平面嵌入，并用五面至少二十次边界出现核矛盾。

把三项来源分别接到三项目标，会得到完全二部图K三三。本课用VectorPaint检查九条连接和交叉标记，再在外部笔记核不能无交叉画在平面上的理由；一次手画失败本身不是不可行证明，也不提供自动平面性检测。

## 声明两组对象与全部连接要求

左侧三点命名A、B、C，右侧三点命名一、二、三，纸面先列A一、A二、A三、B一、B二、B三、C一、C二、C三九对。每条边只跨两组，不连AB或一二，也不增加同点自环。画布一千六百乘一千二百，节点上下间隔三百，左右间隔八百，留出中间交叉解释空间。两组用形状加字母区别，颜色只作辅助，黑白仍应能读出哪三个在左组、哪三个在右组。

## 按九对清单逐条画边

先从A画到右侧三点，再从B和C各画三条，每完成一条就在外部清单勾一对。可以使用直段或为了辨认稍弯的路径，边的弯曲形状不改变端点关系。交叉处不加实心节点，若需要桥形跨线符号，保留它只是非连接说明，不代表路径在三维真的升高。边编号放在能追到两端的位置，不让数字一二三的节点标签同时充当边号。完成后从每个节点数三条边，六个度数之和十八，除二得到九边。

## 先分一幅有交叉与图非平面

这张直线排图出现交叉，只能说明当前排法没有消除交叉，不能推出所有排法都不行。参照[原作者组合数学教材的平面图章节](<https://opentext.uleth.ca/Combinatorics/sect_planar-graphs.html>)区分可无交叉嵌入的图与一幅具体图画。把“当前图含交叉”和“本图不存在无交叉平面画法”分成观察栏与待证栏。即使换成曲线暂时减少了交叉，也要按原九对核边没有漏掉，不能靠删一条难画边后称已经完成原问题。

## 假设无交叉时先算面数

暂作反面假设：这六顶点九边的连通图能无交叉嵌入平面。欧拉式顶点减边加面等于二给出面数五，包含无界外部面，不能只数图中央看得见的小区域。这里的五来自假设下的公式，不是把当前交叉图的区域数强行当成面。交叉若不是顶点，不能拿它分出的每块小区套用同一六九数据。把假设写在公式上方，避免读者看到五面就误以为本课已画出满足假设的有效平面嵌入。

## 用二部条件核每面至少四边

沿任意闭合回路，每走一边就换一次组，所以奇数步不能回到原组，尤其没有三角回路。K三三又是简单图，没有自环与平行重边，且每边在四环中而非桥边，因此假设平面嵌入下每面边界至少四次边出现。可以追A一B二A这个四环检查交替组身份。不能把“至少四”改成“必恰四”再推广给任意二部图；较长面也允许，本题只需下界即可形成矛盾，不依赖额外断言。

## 双计边界得到十八至少二十矛盾

五个面每面至少四次边界出现，总计至少二十。另一方面每条边两侧各计一次，九条边一共十八次，即十八至少二十不可能，因此起初无交叉平面嵌入假设被否定。把两种计法分别列清，面计法给下界，边计法给精确值；不要把二十写成真的新增边数量。来源的[欧拉关系与二部图推论](<https://opentext.uleth.ca/Combinatorics/sect_planar-EulerFla.html>)提供一般背景，本课六九五与十八二十另行手算。证明对象是指定九边图，不是所有六顶点图。若删一边，边数变八，假设下四面与十六次边界计数不再矛盾；这只表示本证法未排除，不能仅凭无矛盾就宣布存在平面画法。

## 排查跨线桥被误读为新解

桥形符号只是交叉不连接，图仍在平面排布中发生穿越；若现实中允许立交、上下层管线或在环面上走线，问题条件已经改变，不能拿它反驳平面结论。若误在交叉处加一个公共节点，就改变了顶点数与邻接关系，也须重新建账本。检查是否重复画同一对或漏画C三，九条路径对象数本身不能替代端点清单。不要宣称应用已经证明非平面，真正的证明在外部条件与计数里，界面只展示连接和说明。

## 重开按九对与假设链验收

保存退出再重开，逐节点追三条边，再按九对清单复查，确认只有六个实际节点、所有交叉不相连。遮住结论重新写六减九加面等于二、面为五、四倍面不超过二倍边，然后得到二十不超过十八的矛盾。最终输出应保留外部面说明、至少四的条件与跨线符号图例，不能只剩一句非平面口号。未验证格式继续留空，完成是连接身份与证明都能独立复现，而不是某次拖线体验被写成不可行定理。

## 相关教程与资料

[VectorPaint 有向依赖图：让箭头与可行顺序一一对应](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-dependency-arrows-feasible-order/>)、[VectorPaint 每边一次路线：分清重复顶点与重复边](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-each-edge-once-trail/>)。

资料核对：2026 年 11 月 14 日，VectorPaint 公开版本 1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。范围参照[官方 App Store](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与[Apple 公开查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261114>)。手工练习使用安装版本实际可见入口；外部演算、文字记录与示意不代表内置自动分析。本文没有逐项真机、私人文件或全部导出环境实测声明。