# VectorPaint 圆内接四边形：先按圆周点序再核两组对角和

语言：zh-CN
原文：[VectorPaint 圆内接四边形：先按圆周点序再核两组对角和](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-cyclic-quadrilateral-opposite-angle-pairs/>)
中文：[中文 HTML](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-cyclic-quadrilateral-opposite-angle-pairs/>)
English: [English HTML](<https://allluckly.cn/en/guides/vectorpaint-cyclic-quadrilateral-opposite-angle-pairs/>)
发布于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
署名：Bison

用四个指定圆周位置复算105加75与90加90，内接条件与交叉四边形分开。

四点看似围成一个圆，不代表相邻角就该互补。本课在 VectorPaint 以同圆四点的顺序构成凸四边形，分别核两组对角和一百八十度，再用错误连线与误配角作排查。绘图依靠手工圆、点和路径，不假设应用自动识别圆内接或量角。

## 固定同一圆与数学角度方向

用约1700×1600画布，在数学平面以O为原点画半径四的圆，可每单位一百像素，显示直径八百。角度从向右的正x方向起，逆时针计，屏幕y向下时需转换，不把顺屏幕方向误叫数学逆时针。设圆、四点、四边与角标各一组，周围留字母位置。若圆被拖成椭圆，先修宽高相同再定位点，不以四点碰巧贴边补救。半径四是原创自定义单位，不是实际毫米；圆心、点位置与文字移动必须区分。

## 在零六十一百八十二百七十度放点

按圆周顺序放A在零度、B在六十度、C在一百八十度、D在二百七十度。数学坐标分别为四零、二与二根号三、负四零、零负四；B纵坐标约三点四六四。若用屏幕中心八百、八百，四点约为A=(1200,800)、B=(1000,453.6)、C=(400,800)、D=(800,1200)，坐标对保持横纵次序，不能把负纵坐标的屏幕位置仍放上方。无法精确放点就标近似，保留数学角度为依据，不宣称自动约束。

## 按ABCD顺序连成凸四边形

按A到B到C到D再回A连四条边，不连A到C到B到D后称同一凸四边形。AC可作为检查直径另画浅线，但它不属于四边中的一条，不能把内部交会计为第五顶点。先关圆看四边是否形成无自交闭合轮廓，再恢复圆核四点都在边界。若连线穿越中心，不立刻判错误，要看它是边还是辅助线；真正错误是改了点序又沿用凸内接角关系。标签位置留在圆外，别遮住角弧与边的实际端点。

## 先算不经过顶点的截弧

圆周相邻弧AB六十、BC一百二十、CD九十、DA九十度，总和三百六十。角A所对且不含A的弧BCD为二百一十，因此角A一百零五；角C不含C的弧DAB为一百五十，因此角C七十五。先写弧再除二，不能把小弧AB直接当角A所对弧，也不把圆心角数照抄为圆周角。弧的方向由已定点序判断，不依标签在哪边。角A的两边是AB与AD，角C的两边是CB与CD，字母关系要跟图相符。

## 另一组对角沿直径复核

角B所对的不含B的弧ADC为一百八十，角D所对弧ABC也为一百八十，所以B与D各九十度。对角两组分别A加C等一百八十、B加D等一百八十。A与B是邻角，一百零五加九十为一百九十五，不要求互补。若所有角都写九十，说明把其中一条直径的性质误套到四个顶点；本图不是矩形。角总和三百六十可作另核，但只核总和仍无法发现把105和75贴错顶点的错误。

## 角标与辅助弧分层显示

各顶点内侧用小角弧配数字，A与C用同一浅色标为一组，B与D用另一色，文字仍写名称以免只靠色。外圆上的弧度说明放辅助组，不把它们同顶点角混成一圈刻度。若图太密，最终可隐藏部分弧，保留检查稿全部计算。不要把角弧画到外角区域后仍标内角105；若数字被边线压住，移字不移点。线宽与装饰箭头不参与角度定义，截图看似开口大小也不能代替数学角值，尤其屏幕缩放后更要保留原数据。

## 用错连与错配各作一次排查

另存检查副本故意把两条边错连，先指出自交与原点序不同，再撤销；不要继续在交叉图上套用本课凸四边形内角记法。另一错例保持图形不动，只把A与B称对角，算出一百九十五暴露配对错误。两种错例不能同时改，否则无法知道哪项导致不符。若四点某一不在同圆，回原角度与半径重建，不只把标签180改成想要的数。检查只针对已声明构型，不把一次图像通过当任意四边形圆内接自动判定。

## 重开核点序和两组一百八十

保存原生稿，导出PNG另开，先沿圆周读ABCD再读四边，放大看A105、B90、C75、D90各在内角位置。若辅助AC仍在输出，图例说明它是直径检查线；若隐藏，原稿保留。重开原生作品确认标签与点可分开改，并记录实际定位是数值还是近似。验收同时给出四弧总和、两组对角和与邻角反例，不把颜色、形状相像或单次静态导出说成真机精确测角，也不把结论扩到非内接、自交或退化四边形。

## 相关教程与资料

[VectorPaint 圆外双切线：用直角与等长分别核两个切点](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-external-point-circle-two-tangents/>)、[VectorPaint 内接正六边形：用外接半径核六条边与六个等边三角](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-regular-hexagon-circumradius-six-triangles/>)。

资料核对：2026 年 11 月 15 日，依据 [VectorPaint官方商店说明](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与 [Apple公开版本查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261115>)，当前版本1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。本文用公开的形状、路径、节点、图层与文字能力手工绘图，数学条件、尺度和版面是原创练习安排，具体入口以安装版本为准。保留可编辑原稿，PNG用于预览，SVG或PDF若使用位图仍可含位图。外部复算与静态图不是应用新增自动证明、统计或求解功能；未声称已完成真机、实物或全部导出环境测试。

定理依据：[欧几里得第三卷命题二十二](<https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII22.html>)给出圆内接四边形对角互补；本课选点角度和所有复算为原创，不把定理用于任意非内接四边形。