# VectorPaint 欧氏铺方：把八十四乘三十分成七块整数正方形

语言：zh-CN
原文：[VectorPaint 欧氏铺方：把八十四乘三十分成七块整数正方形](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-euclidean-square-tiling-eighty-four-by-thirty/>)
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发布于: 2026-11-14T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-14T00:00:00+08:00
署名：Bison

逐次取最大正方形，核二三十、一二十四和四六的尺寸、余条方向、面积及最大公度六。

本课把八十四乘三十的矩形依次取出当前能放入的最大正方形，用图形对应欧几里得算法的商与余数。面积覆盖和最大公度是两个需要分别核对的结论；VectorPaint只组织静态分块，不假设它能自动铺排或求最大公因数。

## 先定长宽与统一单位比例

纸面把外矩形设为横向八十四、纵向三十，原点在左下，画布选一千八百乘一千二百，每单位十五。外框显示宽一千二百六十、高四百五十，周围留尺寸线空间。先建外框、分块边、块号与算式层，标单位为自定义长度而非实物毫米。参照[欧几里得第七卷公度算法](<https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVII/propVII2.html>)理解以较小量测较大量的过程，本例用整数矩形和方块解释，不声称是材料切割方案或已验证的加工尺寸。

## 第一步取两块三十方

八十四除三十得商二余二十四，所以从左边依次放两块三十乘三十正方形，A块横范围零到三十，B块三十到六十，纵范围都零到三十。剩余条在右边，横六十到八十四、纵零到三十，宽二十四高三十，不能误写成高二十四宽三十后仍留在右侧。两块的共边三十处只画一次，A和B各自可有不同浅填色，外轮廓与数值都以原比例为准，不因颜色宽窄改变块尺寸。

## 第二步从余条取二十四方

在宽二十四高三十的余条里，三十除二十四得商一余六。把C块放在横六十到八十四、纵零到二十四，恰为二十四方；剩下一条顶端横带，横六十到八十四、纵二十四到三十，宽二十四高六。方向从前一步竖条变成横带，算法量也由八十四与三十换成三十与二十四。标出本步分界横线只覆盖右侧余条，不能横穿A和B后把它们也分裂成额外块，否则七块计数将被悄悄改变。

## 第三步把六高横带分四方

二十四除六恰得四余零，将横带按六为宽依次分D、E、F、G四块，横范围分别六十至六十六、六十六至七十二、七十二至七十八、七十八至八十四，纵范围都二十四至三十。每块六乘六，四块共二十四，正好封住余条。零余数表示这一轮量尽，不能再画一块零宽正方形或继续寻找更小的非零余条。格上可以写六，不必把同一个六重复挤在四条边上；清楚的尺寸总线比密集数字更便于复核。

## 把商二一四与七块逐项对应

在图下依次写八十四等于二乘三十加二十四，三十等于一乘二十四加六，二十四等于四乘六加零。商二一四分别对应三十方两块、二十四方一块、六方四块，相加为七块；不是说所有七块都边长六，也不是把商相乘得八块。最后非零余数六是八十四与三十的最大公因数，可核八十四除六得十四、三十除六得五。十四和五是原矩形以六为单位的长宽，不是本次贪心铺方的块数。

## 用面积与边界两种账本核覆盖

总面积八十四乘三十为二千五百二十；两块九百加一块五百七十六加四块三十六，也等于二千五百二十。面积相等仍要配合坐标范围，防止一边重叠一边缺口恰好抵消。若算边界，七方周长总和四百三十二，而外矩形周长二百二十八，差二百零四来自内部共边被算两次，内部独立共边长一百零二。不能把四百三十二当外框周长。先沿外框一周检查没有缺口，再按内部六条分隔位置核共享关系。

## 排查余数误写与整体拉伸

若第一步把余数写十四，右侧条就只能覆盖横六十到七十四，外框余十长度会暴露错误。若第二步顶带高度写二十四，检查是否把商除法中的余数六与当前小边二十四混淆。调整版面时整组等比缩放，不只拉宽某块让标注塞下，否则正方形变矩形。图中线宽不作为切缝损耗，所有接触是零厚度数学边界；要做真实材料裁切需另设工艺数据，本课未提供，也不从静态拼图推断实际可用尺寸。

## 重开按三等式与七块验收

保存退出再重开，先隐藏尺寸答案，沿坐标边界找出A到G七块，再写二一四三个商和二十四、六、零三个余数。核最后公度六，以及七方总面积二千五百二十、外周长二百二十八，确认内部边未算进外框。打开最终输出，检查顶带四块的短分隔线和自定义数学单位说明，未检查格式保持未验证。完成标准是别人能按等式重建同一排法，区分最大公度、方块数量与长度单位；不要求把这套贪心图误称所有铺法中块数最少的证明。

## 相关教程与资料

[VectorPaint 面积比较图：先计算边长，再排列一、四、九个单位](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-area-comparison/>)、[VectorPaint 二乘三骨牌铺排：固定六格再穷举三种布局](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-two-by-three-domino-tilings/>)。

资料核对：2026 年 11 月 14 日，VectorPaint 公开版本 1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。范围参照[官方 App Store](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与[Apple 公开查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261114>)。手工练习使用安装版本实际可见入口；外部演算、文字记录与示意不代表内置自动分析。本文没有逐项真机、私人文件或全部导出环境实测声明。