# VectorPaint 四点完全图：经过每点一次不等于经过每边一次

语言：zh-CN
原文：[VectorPaint 四点完全图：经过每点一次不等于经过每边一次](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-k4-hamilton-cycle-versus-euler-trail/>)
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发布于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
署名：Bison

用四点六边图核一条哈密顿环，再以四个奇度顶点排除欧拉路。

把四个点全走过一次，不表示六条边也都走过。本课在 VectorPaint 画无向完全图K4，标出一条经过四顶点再回起点的环，再独立检查是否存在每边一次的路线。存在哈密顿环与不存在欧拉路可以同时成立，图形仅作手工说明，不调用路线求解器。

## 先声明四点六边无向模型

约1700×1500画布上把A放上方、B左下、C右下，D放外三角内，例如屏幕A八百三百、B三百一千二百、C一千三百一千二百、D八百八百。连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，每对不同顶点恰一边，六边清单只记一次。图为无向，不在边端加箭头暗示只许单向走。D是真实声明节点，不是偶然交叉；这个平面布局可避免额外交叉混淆。坐标只定版面，不是实际道路或旅行地图，不引入长度和速度权重。

## 把两种任务分别写成检查句

哈密顿环要求除闭合时回起点外，每个顶点恰出现一次；欧拉路要求每条边恰经过一次，顶点可重复。欧拉回路还要求终点等起点，不能把路与回路条件混说。先把两种题卡分开，候选路线必须注明在哪张卡下核对。只有四个字母都出现不足以说明边一次，六条边都出现也不自动说明顶点一次。颜色只用于跟踪选择，不改变图的无向身份或边数；若编号一二三四表示走的顺序，要在图例说明不是边权。

## 逐步核A到B到C到D到A

选路线A、B、C、D、A，四次行走分别AB、BC、CD、DA，都在六边清单中。除末尾A闭合，A、B、C、D各出现一次，因此是哈密顿环。末尾A并不违反环的规定，但不能把中途再到A也说只是闭合。用不同粗细描出四边，剩余AC与BD保持浅线，不能删除它们把原图变成只有四边的圈。路线四边不等于原图六边，图例写清被选边与未选边，读者才能看出这个成功环没有完成每边一次任务。

## 四个顶点各度三逐项核

A接B、C、D，B接A、C、D，C接A、B、D，D接A、B、C，所以四个顶点度都三，均为奇数。度和十二除二等六，与边清单相合。不能把一条边两端关联都算成两条独立边，也不因粗线被选就把它的度贡献翻倍。D在三角内部不影响度，它仍连接三个外点。先在外部表列每点邻接名字，再写度三，别只凭屏幕看到几根线；线若完全重叠，图形要调整可读，但模型清单保持原样。

## 用奇度条件排除每边一次路

连通无向图若有一条不闭合欧拉路，除两端外各顶点进入与离开成对，因此最多两个奇度顶点；欧拉回路则全为偶度。K4有四个奇度顶点，所以连开放欧拉路也不存在，更不可能有欧拉回路。这里先确认图连通，再用度数证明，不是因为某条线交叉或某次画不出来。哈密顿环的成功没有推翻此结论，两种任务限制的对象不同。把“不存在欧拉路”写在边一次题卡，不要错误贴到顶点一次卡上否定刚才的环。

## 失败尝试只作线索不作证明

可在另组试A、B、C、D、A、C，经过AB、BC、CD、DA、AC五条不同边，停在C时它邻接的三条边都已用，尚有BD未用。此尝试展示怎样卡住，但单次失败不能证明所有路线失败；真正的排除来自四奇度条件。欧拉任务允许A中途重访，所以不能只因这条尝试重复A就判非法，问题是未覆盖所有边。保留剩余BD的浅色标记，别为了让尝试看似完成而把它删去；若继续走已用边，则违反每边一次要求。

## 排查边漏画与起点重复误读

若有人找到欧拉路，先核是否漏画AC或BD，把图误简化；再逐步把候选相邻字母对记边，核六条各一次。若哈密顿环被说A两次不合格，说明需区分闭合末尾与中途重复。若D只作为线交叉未连接，已不再是本题K4，先恢复六边。一次只修模型或路线之一，不同时改图与定义。图中粗线不应盖掉浅线终点，标签移开节点但不挪连接。手工核查与定义负责结论，应用不因一条路径变粗就自动认证最优或完整。

## 重开按两张题卡分别验收

保存原生稿后导出PNG另开，小图先看四点六边仍完整，放大追四边哈密顿环与两条未选边。再核四度三、四奇度和不存在欧拉路的说明，失败尝试放独立栏不冒充证明。重开原生作品确认模型、路线与文字可独立改。验收能给出成功顶点环并解释为何每边路不存在，不是泛称这图不能走一笔或所有四点图都如此；换边集、方向或多重边后重新分析，也不报告软件自动求解或真实路线测试已完成。

## 相关教程与资料

[VectorPaint 每边一次路线：分清重复顶点与重复边](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-each-edge-once-trail/>)、[VectorPaint 三对三连图：交叉不是节点，非平面性需要证明](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-complete-bipartite-three-by-three-nonplanarity/>)。

资料核对：2026 年 11 月 15 日，依据 [VectorPaint官方商店说明](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与 [Apple公开版本查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261115>)，当前版本1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。本文用公开的形状、路径、节点、图层与文字能力手工绘图，数学条件、尺度和版面是原创练习安排，具体入口以安装版本为准。保留可编辑原稿，PNG用于预览，SVG或PDF若使用位图仍可含位图。外部复算与静态图不是应用新增自动证明、统计或求解功能；未声称已完成真机、实物或全部导出环境测试。

定义依据：[Discrete Mathematics欧拉路与哈密顿路](<https://discrete.openmathbooks.org/dmoi2/sec_paths.html>)区分边一次与顶点一次，并给出奇度条件。本课K4布局、候选路线和计数为原创，不以单条失败尝试代替不存在性证明。