# VectorPaint 模逆元回代卡：从除法链得到七乘十五余一

语言：zh-CN
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发布于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-15T00:00:00+08:00
署名：Bison

保留欧几里得余数与回代系数，分清模逆元、普通倒数及没有逆元的情形。

模二十六下七的逆元不是把七写成分母，而是找整数乘七后余一。本课在 VectorPaint 画除法链和回代卡，推出负十一与十五属于同一模类，再乘回检验。欧几里得算法在这里用于找出整数系数，商、余数与回代符号要全程保留，不依赖内置符号计算。

## 先写乘回余一的目标

在外部笔记定义要找整数r，使七乘r与一相差二十六的整数倍，记作七r同余一模二十六。代表元可选零到二十五，但负整数也能代表同一模类。约1800×1500画布分除法链、回代、检验三栏，题名写乘法逆元，不只写倒数。若直接把一除七的小数贴上来，问题已变成实数倒数，不符合整数r条件。这里的模数二十六固定为正整数，不把它误当要除的结果；绘图工具只负责形状和文字排版，目标条件需人工保留。

## 除法链每行保留商和余数

按顺序写二十六等三乘七加五，七等一乘五加二，五等二乘二加一，二等二乘一加零。每行余数小于该行除数，零终止，最后非零余数一说明最大公因数为一。箭头只表示把除数与余数送下一行，不表示乘法因数树。若把五等二乘二加一写成五等二加二，算式不完整。原稿中数字、乘号、加号分清，避免缩小时三七看成三十七；当前尚未得到逆元，不能把最后余数一直接说成七的逆元是一。

## 从一开始逐层回代

先写一等五减二乘二，再用第二行的二等七减五替换，得到一等五减二乘括号七减五，即三乘五减二乘七。最后把五等二十六减三乘七代入，得一等三乘二十六减十一乘七。括号与负号不能省错，二乘七减五和二乘括号七减五不同。每次只替换一个余数，保留上一行便于追踪，不能把回代画成倒着读商三一二就拼出答案。此步骤找的是原始两数的整数系数，不需要VectorPaint提供代数化简。

## 负十一转成零到二十五代表元

把一等三乘二十六减十一乘七在模二十六下读，三乘二十六余零，所以七乘负十一同余一。负十一加二十六得十五，于是r可选十五；负十一不是错误，只是不在所选非负代表范围内。也可用四十一等十五加二十六表示同一模类，但本图主答案统一十五，另把其他代表元放注释。不能把负号直接擦掉变十一，因为七乘十一七十七除二十六余二十五而非一。归一化改的是代表写法，不改模数或原整数关系。

## 乘回检验一百零五的余数

七乘十五等一百零五，一百零五等四乘二十六加一，因此余一成立。普通等号只写在整数等式中，同余写在模关系中，不能写七乘十五等一。再核三乘二十六减十一乘七等七十八减七十七等一，两条独立算式互相支持。若要做候选对照，可算七乘十四九十八余二十、七乘十六一百一十二余八，它们都不是余一。候选表不是只看谁最接近一百零五；判断依据始终是模二十六的余数，不是屏幕图形长度接近。

## 没有互素条件时保留不存在

另用十三模二十六作反例，十三与二十六最大公因数十三，不是互素。任意整数乘十三，模二十六余数只可能零或十三，不可能一，所以十三没有此模下的乘法逆元。不能因为版面每题都想填一个答案，就写二或把模数改二十七。对七这个互素例，零到二十五范围内逆元代表唯一；其他如负十一、四十一是同一余数类，不是三个互不相同的模逆元。反例与主例分框保存，既说明算法成功条件，也承认某些任务合理结果就是不存在。

## 排查余数系数与同余符号

若答案变十一，回查最后回代负号；若得三，确认拿的是二十六的系数而不是七的系数。若余数出现二十六或更大，重新按零到二十五化简，不把商与余数交换。若图把回代顺序画乱，按每行替换的余数编号修，不同时重写全部数字。移动文本对象时保留等号和括号成组，防止一行被拆成另一等式。所有计算应可外部复算，颜色或箭头方向不证明数论关系，软件也不因画出除法链就自动给出正确系数或逆元存在性认证。

## 重开从目标走到检验再回反例

保存原生稿后导出PNG另开，先读七r同余一模二十六，再沿四行除法、三步回代找到负十一与十五，放大核一百零五余一。反例栏明确十三不存在，不与主例十五串位。若负号太小难认，调字号和间距，不删掉它。重开原生作品确认各栏可独立编辑，保留全部等式与代表范围。验收能解释系数从哪里来、负代表为何可用及何时无逆元，不是实数一除七、自动密码工具或实际安全性测试；换两数必须重算。

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资料核对：2026 年 11 月 15 日，依据 [VectorPaint官方商店说明](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与 [Apple公开版本查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261115>)，当前版本1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。本文用公开的形状、路径、节点、图层与文字能力手工绘图，数学条件、尺度和版面是原创练习安排，具体入口以安装版本为准。保留可编辑原稿，PNG用于预览，SVG或PDF若使用位图仍可含位图。外部复算与静态图不是应用新增自动证明、统计或求解功能；未声称已完成真机、实物或全部导出环境测试。

方法参考：[西安大略大学模方程与逆元教材](<https://www.csd.uwo.ca/~abrandt5/teaching/DiscreteStructures/Chapter4/solve-congruences.html>)说明用欧几里得算法与贝祖关系求模逆元。本课七、二十六及所有卡片演算为原创；整数同余不是普通实数等号。