# VectorPaint 三四五三角形：把内切圆与外接圆分别对点和对边

语言：zh-CN
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发布于: 2026-11-12T00:00:00+08:00
内容更新于: 2026-11-12T00:00:00+08:00
署名：Bison

手画同一三角形的两种圆心，复算外接半径二点五与内切半径一及切点。

圆心并不总在三角形同一个位置。本篇把三四五直角三角形复制为两图，一图画经过三顶点的外接圆，另一图画与三边相切的内切圆。两项条件分开验算，不调用自动三角形中心，也不把目测贴近边线当作精确相切。

## 先固定三角形再复制比较

数学顶点A零零、B四零、C零三，直角在A，三边长四、三、五，面积六。先画同一比例的直角三角形，再平移复制，不能第二图改成长得更均匀的三角形。可每单位一百像素，屏幕y向下时减去数学y。参考[TI圆心教学资料](<https://education.ti.com/en/activity/detail/circumcenter-and-incenter>)核外心由垂直平分线、内心由内角平分线定义；不照搬其计算器安装步骤到VectorPaint，也不引用页面把圆与三角形混写的句子作结论。

## 外心取斜边中点

BC中点O为二、一点五，半径取到B的距离，二的平方加一点五的平方开方等二点五。分别算OA、OB、OC都为二点五，因此以O为中心、半径二点五的圆经过三顶点。O落在BC上，不在这个三角形内部；画标签时别为留白把圆心移到里面。先用两条直角边的垂直平分线x等二、y等一点五辅助核位置，交点正是O，检查完普通手画线可隐藏。圆中心与标签位置分开，文字挪开不代表点也移动。

## 外接圆先对顶点而非三边

用圆形或椭圆形状建立宽高相同的圆，并按中心和直径五定位；若只凭拖动近似就明确示意。依次检查A、B、C三个点在圆上，不要求圆与三条边相切。圆外大部分落在三角形之外很正常，不用蒙版裁成只剩三角形内的一段后称完整外接圆。若B与C吻合而A不吻合，回查中心或是否误拉成椭圆，不能单独把A顶点拖到圆上，因为那会改变原来的三四五三角形。

## 内心用到三边的垂距检验

第二图内心I设为一一，半径一，到横边AB和竖边AC的垂距各一。斜边BC方程为三x加四y等十二，I到它的距离为十二减三减四、再除五，也等一。因此三边等距成立，不是因为点看着居中。面积六除以半周长六也得内切半径一，可作独立验算。内心与外心不是同一对象，不用复制第一图的圆后只改文字。两个圆心的数学坐标始终跟各自图内原点对应，平移排版不改数据。

## 切点与三个顶点逐一分开

内圆在AB的切点为一零，在AC为零一，在BC为一点六、一点八；最后一点满足三乘一点六加四乘一点八等十二，到I距离一。用半径连向切点，应与对应边垂直，不把连向顶点的线当切点半径。I到A为根号二而非一，因此内圆不经过A，也不需经过B、C。缩小图可只保留三处小切点与一个直角提示，避免所有半径交织，但检查稿仍保存完整对应，读者能按边编号找到各自触点。另查内圆横纵范围都从零到二，外圆横向负零点五到四点五、纵向负一到四。画布应给外圆这些越界空间，不能为挤进三角形包围框而把圆压扁；两图留白可以不同，但数学缩放保持一致。

## 把两种条件交换作为错例

故意在第二图把I的圆扩大到经过A，半径会变根号二，必然不再保持到AB和AC相切；这是条件交换，不是成功改进内切圆。另一错误把外心O写成一一，三顶点距离不再相等，回各点计算即可定位。错例保留在独立副本，不能同时移动三角形和圆后失去比较依据。修复时先恢复中心与半径，再看切点或顶点条件，不仅修改图例名称。颜色差异不能证明哪种圆，单色也应靠标注与接触位置认出。

## 双图输出保持共同参照

原稿保存后开PNG，对照两幅边长、直角位置与顶点字母一致，再分别核外圆经过三点、内圆贴三边。若标签遮切点，移文字不挪点；若圆不圆，回宽高与导出显示，不改数学半径凑外观。普通手画垂直平分线和切点半径按交付需要隐藏，原生辅助显示是否输出需实际核查。可另开SVG或PDF看圈线和文字位置，但静态打开不替代数值验证，更不能据一个显示器画面声称绝对几何精度或所有客户端一致。

## 验收分别回答三点与三边

验收能回答外心二一点五、半径二点五、三顶点等距；内心一一、半径一、三边垂距相等，并列出三个切点。圆都画进三角形先查外接与内切定义，半径混用先回距离，斜边触点偏移回方程。保留面积六与半周长六的验算，不将六误写成周长，真实周长为十二。结论只针对本题坐标，其他三角形需重算，不保证圆心总在边上。所有步骤为手动几何示意，没有自动求心或实物量具校准声明。

## 相关教程与资料

[VectorPaint 椭圆焦点示意：分清长短半轴和两焦点距离](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-ellipse-focus-diagram/>)、[VectorPaint 垂直平分线：用等半径圆弧核对交点与中点](<https://allluckly.cn/guides/vectorpaint-perpendicular-bisector-equal-arcs/>)。

资料核对：2026 年 11 月 12 日，VectorPaint 公开版本 1.0.8，最低要求 iOS / iPadOS 17.0。范围参照[官方 App Store](<https://apps.apple.com/cn/app/id1587272880>)与[Apple 公开查询](<https://itunes.apple.com/lookup?id=1587272880&country=cn&entity=software&timestamp=20261112>)。手工练习使用安装版本实际可见入口；外部演算、文字记录与示意不代表内置自动分析。本文没有逐项真机、私人文件或全部导出环境实测声明。