书屿同余跟读：负数余数先选范围，不能随意约掉乘数

负七与五并非同一个整数，却可以在模十二意义下同余。本篇在书屿读原创余数卡，先声明非负代表范围，再用差被整除解释关系。本课重点是余数类、普通相等与模运算规则；演算由读者手工完成，不假定应用内置余数计算或程序语言解释器。

先声明正模数与代表范围

原创卡固定模数十二，选择零至十一作为每类的非负代表。记录文件、例号与范围，不把十二也放进代表清单造成十三个位置；十二与零同类，但在本约定下选零代表。这里讨论整数，不将小数输入或负模数未经定义直接塞进同一规则。钟面可作外部示意，不过数字十二的位置与数学代表零需要说明映射，不能因为实物钟写十二就擅自把余数十二列为合法最终代表。

用负一商把负七写成五的代表

对负七，写十二乘负一再加五，确实等于负七，且五在零到十一范围，所以代表为五。若用向零截断商零，会留下负七，它不满足本篇选定的非负余数范围；应回等式与范围，而不是只凭某个工具输出判对错。程序语言对余数运算可能另有约定，本课不运行也不混用它们。把商、余数和原整数三项分别记录，不能将商负一误称负七的模十二代表。

同余用差整除核而非写普通等号

二十九也等于十二乘二加五，因此与负七同余；两数之差三十六可被十二整除。记录-7 ≡ 29 (mod 12)，但普通整数等式负七等于二十九是假的，不能删掉模十二括号后仍说原结论不变。同一类还可有五、十七等整数，非负代表只是选一个方便记法，不表示其他成员消失。把同余与相等分两栏，页上形似等号的三横记号看不清时先放大，不凭熟悉算术猜成两横。

加法乘法各在同一模数下复算

负七加八为一；先用五替负七再加八得十三，取模十二代表也为一。负七乘三为负二十一，可写十二乘负二加三，代表三；五乘三为十五，代表仍三。两条路线一致依赖同一模数与同余规则，不把所有普通中间值也写成相同整数。纸面保留一条直接算、一条先约代表的过程，不能只对最后一行；若某次改成模十，结果要全部重新核，不沿用模十二得到的五。

二十四小时卡只当指定数学模型

另卡设无日期、无时区变化的二十四小时循环，二十三加十七为四十，写二十四乘一加十六，所以钟面代表十六，并越过一轮。它不是模十二卡，不能把十六再约成四后当同一显示系统。若要实际日期时间，必须另给日期、时区与规则，本课不据纸面卡安排真实日程。数学中丢掉轮数可能方便，但任务若关心经过多久就不能只留代表十六；保留累计四十与一轮十六的分解，解释丢失了什么信息。

不能照普通等式随意消去乘数

看二乘一与二乘七分别为二和十四，模十二同余，但一与七并不同余，因为差六不能被十二整除。于是不能从两边都含二就直接约掉二并保持模十二结论。把这个反例写在消去栏，避免把普通实数等式的除法规则原样搬来。需要可逆因子等额外条件才有相应消去结论，本课只用反例核限制，不声称所有非零整数都能在模十二下求乘法逆元，也不要求应用自动求逆。

排查负代表与模数串换

最终代表负七时先核本篇零到十一范围；结果十三时再减十二，不是把十位删掉变三。若钟面卡出现四而原要求二十四小时，核是否误用模十二。若把同余结果贴成普通等式，补回三横与模数说明，不能说反正差不多一样。扫描记号模糊、换行把模数挤到下一行时，回完整句读范围，不以屏幕行界切断条件。求助保留原创等式与代表约定，不编造某语言的运算输出或应用已经执行了代码。

重开后交付三组关系与一个反例

重开两张模数卡，先核十二与二十四身份，再复算负七代表五、加八代表一、乘三代表三和四十代表十六。验收附差三十六可整除、普通等号不成立及不能约二的反例，能解释余数类保留与丢失的信息。今后改模数或代表约定时重新计算，旧书签只用于返回。最终记录应让别人从整除定义复核每步，而非把电子书中的三横符号当装饰，也不把一次纸面结果当所有软件运算约定的保证。