书屿等比求和跟读：把第五项与前五项总和分开

数列末项是四十八，并不表示前五项总和也为四十八。本篇在书屿读原创等比卡，先列清项数与公比，再手工错位相减推总和。本课重点是有限和公式的来源、例外与有限无限的边界；笔记可外存，不假定应用会自动计算级数或补全省略号。

五个项逐一列出并固定首项

原创卡设首项三、公比二、项数五，完整列三、六、十二、二十四、四十八。每项标从一开始的项号，末项指数是四而不是五，因为首项没有先乘一次二。记录文件、例号和原卡范围，不能只保留三点省略号后按感觉猜项数。书屿打开可读文本或PDF即可，外部清单用来复算；如果原书从零编号，先改写对应关系而非擅自将它的第五个位置按本例项号处理。

先直接相加给公式留对照

手算三加六为九，加十二为二十一，加二十四为四十五，再加四十八得九十三。逐步小计与末项四十八分栏，不能把求第五项的答案贴到前五项和。直接加法在这五项足够可行，用作后面推导独立核对，而不是先抄公式结果再伪称两法相符。若书页把正号排得不清，回原卡确认，不在不知运算符时拿常见等比题答案补全；项数、数值与运算动作都是验收内容。

错位写两行再逐项抵消

把原和命名S，第一行写三加六加十二加二十四加四十八；两边乘二后，第二行成为六加十二加二十四加四十八加九十六。第二行减第一行，中间四组抵消，左边是二S减S，右边九十六减三，得到S为九十三。对齐按项值和乘法关系，不按屏幕自动换行位置。被抵消的是同值项，不是随意划掉看着相邻的数字；第二行新增九十六不属于原五项，却在推导中有明确角色。

把一般公式和适用条件写全

首项a、公比r、前n项和可写S=a*(r^n-1)/(r-1)，这里r不能等于一。n次方来自错位后多出的那一项，不是说第n项本身指数也为n；第n项仍是a乘r的n减一次方。用本例三、二、五代入，三乘三十一除一得九十三。变量名与项数边界一并记录，不能只背分母r减一而漏掉首项或括号；本课是在纸面推导，应用内显示公式不代表系统已验证任何代数变形。

公比为一另算而非除零

另卡首项三、公比一、五项全是三，和为十五。不能代入上一公式得到零除零后硬改成零，也不能说r一时等比数列不存在；只是这份带分母r减一的表达式不直接适用。把例外写在公式旁，结果用项数乘首项核。该卡不再具有原先倍增的末项四十八，文件名与卡号应改变，防止重新打开时看着仍有五个位置就把旧值沿用。条件不是装饰，它决定可以执行哪一种运算。

减半卡保留有限项不偷补尾项

再卡首项三、公比二分之一、五项为三、一点五、零点七五、零点三七五、零点一八七五，合九十三除十六，即五点八一二五。若讨论无限延续，其收敛和可为六，但本卡只有五项，不能把尚未列出的尾项当已经相加。有限和比六少三除十六，差值也能手算核对。只改变公比与相应项值，不把原卡两倍和与新卡减半和拼在同一公式行；每个结果附项数和公比。

排查末项指数与无限和混用

若原卡和算成一百八十九，优先核是否多列第六项九十六；若末项写九十六，检查项号从一还是零开始。减半卡直接填六时补回有限项数条件，不以差不多接近就判精确通过。公式分数换行后应检查整个分子范围，避免仅把一除以r减一。求助用原创五项、两行抵消与条件即可，不必上传整本练习册；排版错误与计算错误分别记录，不假称应用已自动纠正指数或辨认求和类型。

重开后用三张卡交叉验收

重开例题，先核倍增、全三与减半三张卡身份，再不看答案复算九十三、十五和九十三除十六。验收保留末项与总和两栏、错位相减过程、r不等于一条件及有限无限界线。可以用现有书签定位，页码随字号变化时改用例号，不把旧屏幕行数当n。今后增加项数或改变首项需重新算，不把同名数列永远绑定一个总和；最终成果应让别人能从原始五项复现推导，而非只得到一个计算器小数。