VectorPaint 椭圆焦点示意：分清长短半轴和两焦点距离

椭圆的焦点不是随意放在长轴上的两个装饰点。本篇选长半轴五、短半轴三的教学椭圆，焦点各距中心四，用简单算例核对标注。它不是应用自动几何证明或测量认证；图形构造与手算记录分别保留，手工近似需要明确说明。

先定中心和自设单位换算

新建一千二百乘八百像素画布，中心六百、四百，一单位六十像素。长半轴五即三百像素，短半轴三即一百八十，整椭圆外框宽六百高三百六十，不把半轴写成全宽。先画水平和竖直参照，说明单位只服务图面，不是厘米。左右长轴端在三百和九百，顶部二百二十、底部五百八十，先核对这些范围没有超画布。保留坐标清单，标签与对象分开，后面移动文字时不会顺带改变几何。

椭圆来源保持同心与正交轴

按当前可用尺寸入口建立椭圆，使外框与上述四端相符，若只能手工拖动就用参照核对并标近似。不要为让标注漂亮把椭圆单独倾斜，却仍用水平五竖直三解释它。先用无填充描边看轮廓与轴端接触，关闭过粗线重避免边缘看似超值。中心不是外框某角，也不是随意找一个视觉平衡点。先保存纯几何基准，后面焦点与连线都从同一中心计算；普通绘图对象不自动认识这些量的关系。

焦点到中心是四而非两焦点相距四

本例五的平方减三的平方等于十六，其平方根四，所以每个焦点距中心四单位，即二百四十像素。两焦点在横向三百六十和八百四十，纵向都四百；它们彼此相距八单位，不是四。先分别命名左焦点与右焦点，保持同样标记大小。焦点落在椭圆内，不能放到长轴端点上。算式记录在图外，说明它依据本例半轴选择，不把应用中点的位置当成软件已经推导了公式或证明任何任意曲线都是椭圆。

先在右端点核对距离和

取右端点九百、四百，到左焦点相距九单位，到右焦点一单位，合计十，等于长半轴五的两倍。两段连线可以重合一部分，图旁分别列九和一，不靠可见线条数量猜两条距离。距离测的是端点到各焦点，不是先到中心再把两焦点距离加进去。标签不要遮住右端，必要时用短引线。这个位置算式清楚可作第一检查，但一处符合并不证明整条手绘轮廓都满足定义，更不能据此宣称达到某种输出测量精度。

顶部用三四五关系再做一处检查

取顶部六百、二百二十，横向到每个焦点差四单位、纵向差三，两条直线各长五，合计仍十。左右对称的来源是本例同心轴向关系，不是因为线看起来一样长就已测量。先给两线临时异色，确认各自接到正确焦点，核对后恢复。顶部不是圆心，也不把这两条线叫半径。手工连线若偏到轮廓外，先修端点，不改算式迎合图。保留右端与顶部两组计算，数量与对象一一对应才方便讲解。

变短半轴时重新计算焦点

在副本把短半轴从三改四，长半轴仍五，新的中心到焦点距离为三，不能沿用旧四。先更新椭圆高度、上下端、焦点与顶部距离连线，再重写标签；中心和长轴不动。此时两焦点相距六，顶部到两焦点各五，距离和仍十。不要整图等比缩放假装只改了短轴，也不只移动两个点却保留旧椭圆。原三版与新四版独立命名，比较时同单位显示，记录变的是哪一个量。

输出保留算例与近似说明

保存半轴清单、椭圆、焦点和两组连线，导出后先读五三四或五四三版本，再查坐标与标签。小尺寸焦点不应粗到遮住轴端，文字与线型保持可辨。透明图换底色看参考线和轮廓，背景对象要自己处理。文件名写焦点教学示意、单位与版本，打开实际文件排除测试焦点。交付SVG或PDF仍检查接收工具显示，不把格式名称当数学对象已被识别。需要测量或精确几何应用时另行验证，本图只讲清本次构造与计算。

焦距标签混乱时先分半轴和全长

左右点距中心写八，先查是不是把两焦点间距当成单侧距离。顶部线算成三，回三四五关系，不把竖向差当斜线长度。变短轴后距离和错，先查椭圆与焦点是否同版。轮廓不贴参照先回外框尺寸，不通过挪焦点让图看似居中。修正后分别核对全宽、全高、单侧焦点距离和两处和，能解释每个数字对应哪条量，这张椭圆图才有教学依据，而不是一圈曲线加几个难以核实的点。