VectorPaint 最小连接树：先连齐五节点，再比较四边总权

把甲接到戊的最短路线，不一定是连接所有地点的最小网络。本篇用五节点原创无向图，先检查全连通和无环，再比较边权总和。权重是虚构成本单位，不是实际距离或施工报价；VectorPaint负责静态图，计算与最小性说明手工完成，不假定内置图算法。

先列五点八边与无向约定

节点甲乙丙丁戊对应A至E，边为AB一、BC二、CD三、DE四、AC五、BD六、CE七、AE九，共八条。无向表示两个端点关系不分去回，AB与BA不是两条边，不画方向箭头。先外部列边表再放图，权重标签靠各自边中部且不遮交点。交叉处若未设节点，不因两线相交添加第六地点。布局远近不表示成本大小，成本只取表中数值。标题写虚构网络，实际道路连接和地形不由此推断。

选四条链边确认覆盖全部

第一候选取AB、BC、CD、DE，一到五点全可沿链互到，四条边没有闭环。逐点从A出发走到E，中间B、C、D都在，不只确认首尾相连。树在本题指连接全部五节点且无环的边集，单独一条AE虽接首尾却漏三点，不是候选。选中边可粗一点，未选边浅色保留，图例分清不是删除来源表。若颜色不够，编号或线型也能辨。不要把四边这一数量当充分条件，后面仍需核连通与无环。

总权十的最小性只在本图成立

一加二加三加四等十。任一五节点生成树有四边，本图最小的四个边权就是一二三四，任何选四边的总权不小于十；这四边又确实连齐无环，因此达到下界。把下界与可行两步都写，不只因为挑最便宜四条就断言所有图都行。别的图最小四边可能成环或漏点，需要另查。此处权重互不相同，但本篇不靠外观距离判断唯一性，也不把手工结论写成软件已穷举所有网络。总权按每条选中边一次相加，不把从A走到各点的路径分别累计，那会把共用链边重复收费。

十三候选同样可行却更贵

第二候选取AB、BC、CD、CE，合一加二加三加七等十三。它也连接五点无环，E改由C接入，D仍由C可达，所以不是结构错误，只是总权大于十。两候选用同一边表与同一布局，别偷偷修改CE成本。可行和最优分两栏，不能把较贵等同无法连通。恢复第一候选时按边编号，不凭颜色记忆。若读者只找到一个连通图，仍不足以下最小结论，需要本篇下界或其他可靠比较依据。

两端短路与全节点目标分开

单看A到E，直接AE权九，比链路十小，但它没有连接B、C、D，不替代本题生成树。反过来，最小树内A到E的链权十，也不说明原图的两端最短路必须十。把目标写在每张图上，避免拿一个答案解决另一个问题。原有最短路线教程可作对照，但这里对全部节点的覆盖是新条件。权重非负且边表给定，不加入未列的捷径；真实项目还会有容量、可靠性和地理限制，本小图没有这些约束资料。

廉价成环错例先查漏点

错误副本选AB、BC、AC，权和八，看似更便宜，却在ABC成环且D、E没接入，不是五节点生成树。若再补DE，虽然四条边、权十二，仍是两个连通部分并保留环。分别记权值、边数、覆盖与连通，不用四边就说通过。修复需重新选边而不是把遗漏点文字挪到圆内假装已接。此例可以核两种失败原因，无需自动环检测；正确十与可行十三版本独立保留，别覆盖后失去比较证据。

图例和输出跟边表一起核

保存原稿，打开PNG逐项核八边权、四选边与五点标签，交叉不加点的说明可保留。某权贴错边先移文字，不改成本去迎合图。未选浅边缩没时，可附边表避免误读为原图只有四边；图例明确哪些是候选。普通检查箭头和编号不交付时隐藏，单色也能分选中与未选。另一格式独立打开，线端断开先查对象位置和遮挡，不把导出成图片当已执行网络连通测试。原边表与源稿分别保存可回查。

最后按覆盖无环总权复核

漏点先回五点全集，便宜却无效先查环与连通，十三误称最小回十的下界，首尾目标混淆回每图标题。修后不只重加数字，还逐点走通。验收有八边表、十树、十三树、九短路对照、八与十二错例和下界说明，所有算数可复做。Princeton最小生成树教材只用于核术语与目标，本篇不运行其程序。它不是自动规划、施工报价或所有约束下网络最优保证，实际系统需另有数据与专业验证。