VectorPaint 单位圆投影：分清正弦高度与屏幕纵坐标

圆上点往上走，屏幕纵坐标反而可能变小。本篇把数学向上与画布向下明确分开，用单位圆中的六个点说明正弦是竖直分量。它不是自动三角函数绘图或运动模拟；所有点与线手工安排，根号小数近似和精确关系分别保留。

先定义一单位对应二百像素

圆心设六百、四百五十，画布圆半径二百表示数学半径一，先画水平竖直两轴并标右为横正、上为纵正。圆的直径四百，不把它误当数学四百单位。原点标签和圆心分开选择，避免对齐文字后移错整个圆。角度从向右逆时针读，画布纵坐标向下的事实仍保留。若当前文档单位不同，先统一比例并记下，不凭屏幕缩放后的大小判断单位圆是否已经变大。此时只建坐标与圆，不加复杂波形或动画。

六个角度先写数学坐标

取零、三十、六十、九十、一百八十、二百七十度，数学点依次为一零、根号三除二与二分之一、二分之一与根号三除二、零一、负一零、零负一。每点都在半径一圆上，正弦就是第二坐标，不等于角度除以九十。三十正弦二分之一、六十约零点八六六，不能都写一半。先存精确分数和根号，再给小数近似，避免小数位数多就看似比原定义更精确。所有样本是本题设定，不从真实圆物照片量得。OpenStax单位圆说明用于核第二坐标与正弦的关系，屏幕变换和自定比例仍由本篇单独核算。

转成画布点时纵向用减法

画布横坐标等于六百加二百乘数学横坐标，纵坐标等于四百五十减二百乘数学纵坐标。六点依次八百四百五十、约七百七十三点二零五三百五十、七百约二百七十六点七九五、六百二百五十、四百四百五十、六百六百五十。先核九十度在上、二百七十度在下，再检查另外点。坐标对照分列书写，别把横纵连续数字连成一个大整数。手工放点有误差时标示意，不声称原生吸附已经命中理论三角函数位置。

水平连到竖轴才是所需投影

从每个圆点画水平细线到横坐标六百的竖轴，投影点保持同一纵坐标。圆心到这个投影点的有向竖直分量对应正弦，圆心到圆点的斜线仍是半径一。投影线水平，不要斜接到原点后把那段叫正弦。三十度高度一百像素，对应二分之一；六十度约一百七十三点二零五像素，对应根号三除二。投影可与轴上点重合，九十度样本水平线长零，不需要凭空画一段可见线来凑六条投影。

负一不是向下的一段正长度

二百七十度投影在圆心下方二百像素，数学正弦负一；屏幕纵坐标六百五十不是正弦六百五十。把有向分量与无符号距离分开，下方距离二百对应一单位，但方向使分量为负。零与一百八十度正弦都零，却在圆的不同点，不能只按正弦值认定角度唯一。另可比较三十与一百五十度，两者正弦同为二分之一；这是一项对应检查，不在图中自动求所有反三角函数解。负号与角度标签需同时保留。

只改观看比例时数学值不变

若把整幅统一缩小一半，圆半径变一百屏幕像素，三十度投影高五十，但数学正弦仍二分之一。比例说明应随显示条件更新，不把像素高减半解释成函数值减半。不能单独压缩竖向保持旧圆形和单位标注，那会把图变椭圆。原图和缩略图分别标显示比例，比较时以数学坐标核，不拿两个不同缩放截图直接量高。实际文档对象缩放与应用视图缩放也分清，后者不改变原稿坐标或导出设定。

输出先看轴向和三种线身份

保存原稿，打开PNG逐点看圆半径、水平投影与竖轴分量，不只看外圆是否平滑。九十度在上、负一在下，根号和负号都应可读；字体缺符号时改明确文字，不删条件。手工点位与检查框不用时主动隐藏，原生网格以实际输出核。彩色改成单色后，半径线、投影线与轴仍能按线型或文字分开，不能用颜色记忆代替关系。若线被标签挡住，调整文字而不是挪动数学点位。

坐标符号投影分别复核

点跑反方向先查画布纵坐标减法，正弦都写正先查有向分量，半径忽长忽短回圆上点坐标。九十度少一根线不一定错误，先看它是否本来投影长度零。完成有六个精确坐标、六个画布位置、投影身份与缩放对照，近似值明确标出。结果是一张可复算的单位圆说明，不是自动三角函数曲线、角度检测或数学证明，也不把屏幕长度当现实测量精度。