VectorPaint 三对三连图：交叉不是节点，非平面性需要证明

把三项来源分别接到三项目标，会得到完全二部图K三三。本课用VectorPaint检查九条连接和交叉标记，再在外部笔记核不能无交叉画在平面上的理由；一次手画失败本身不是不可行证明，也不提供自动平面性检测。

声明两组对象与全部连接要求

左侧三点命名A、B、C，右侧三点命名一、二、三，纸面先列A一、A二、A三、B一、B二、B三、C一、C二、C三九对。每条边只跨两组，不连AB或一二，也不增加同点自环。画布一千六百乘一千二百，节点上下间隔三百，左右间隔八百，留出中间交叉解释空间。两组用形状加字母区别，颜色只作辅助，黑白仍应能读出哪三个在左组、哪三个在右组。

按九对清单逐条画边

先从A画到右侧三点，再从B和C各画三条，每完成一条就在外部清单勾一对。可以使用直段或为了辨认稍弯的路径，边的弯曲形状不改变端点关系。交叉处不加实心节点，若需要桥形跨线符号，保留它只是非连接说明，不代表路径在三维真的升高。边编号放在能追到两端的位置，不让数字一二三的节点标签同时充当边号。完成后从每个节点数三条边，六个度数之和十八，除二得到九边。

先分一幅有交叉与图非平面

这张直线排图出现交叉，只能说明当前排法没有消除交叉，不能推出所有排法都不行。参照原作者组合数学教材的平面图章节区分可无交叉嵌入的图与一幅具体图画。把“当前图含交叉”和“本图不存在无交叉平面画法”分成观察栏与待证栏。即使换成曲线暂时减少了交叉，也要按原九对核边没有漏掉，不能靠删一条难画边后称已经完成原问题。

假设无交叉时先算面数

暂作反面假设：这六顶点九边的连通图能无交叉嵌入平面。欧拉式顶点减边加面等于二给出面数五，包含无界外部面，不能只数图中央看得见的小区域。这里的五来自假设下的公式，不是把当前交叉图的区域数强行当成面。交叉若不是顶点，不能拿它分出的每块小区套用同一六九数据。把假设写在公式上方，避免读者看到五面就误以为本课已画出满足假设的有效平面嵌入。

用二部条件核每面至少四边

沿任意闭合回路，每走一边就换一次组，所以奇数步不能回到原组，尤其没有三角回路。K三三又是简单图，没有自环与平行重边，且每边在四环中而非桥边，因此假设平面嵌入下每面边界至少四次边出现。可以追A一B二A这个四环检查交替组身份。不能把“至少四”改成“必恰四”再推广给任意二部图；较长面也允许，本题只需下界即可形成矛盾，不依赖额外断言。

双计边界得到十八至少二十矛盾

五个面每面至少四次边界出现，总计至少二十。另一方面每条边两侧各计一次，九条边一共十八次，即十八至少二十不可能，因此起初无交叉平面嵌入假设被否定。把两种计法分别列清，面计法给下界，边计法给精确值；不要把二十写成真的新增边数量。来源的欧拉关系与二部图推论提供一般背景，本课六九五与十八二十另行手算。证明对象是指定九边图，不是所有六顶点图。若删一边，边数变八，假设下四面与十六次边界计数不再矛盾；这只表示本证法未排除，不能仅凭无矛盾就宣布存在平面画法。

排查跨线桥被误读为新解

桥形符号只是交叉不连接，图仍在平面排布中发生穿越；若现实中允许立交、上下层管线或在环面上走线，问题条件已经改变，不能拿它反驳平面结论。若误在交叉处加一个公共节点，就改变了顶点数与邻接关系，也须重新建账本。检查是否重复画同一对或漏画C三，九条路径对象数本身不能替代端点清单。不要宣称应用已经证明非平面，真正的证明在外部条件与计数里，界面只展示连接和说明。

重开按九对与假设链验收

保存退出再重开，逐节点追三条边，再按九对清单复查，确认只有六个实际节点、所有交叉不相连。遮住结论重新写六减九加面等于二、面为五、四倍面不超过二倍边，然后得到二十不超过十八的矛盾。最终输出应保留外部面说明、至少四的条件与跨线符号图例，不能只剩一句非平面口号。未验证格式继续留空，完成是连接身份与证明都能独立复现，而不是某次拖线体验被写成不可行定理。