VectorPaint 圆外双切线：用直角与等长分别核两个切点

本课画同一圆外点引出的两条切线。图画得像贴住圆不等于已经相切，必须保留圆心、切点和垂直证据；计算在外部纸面完成，VectorPaint负责组织路径与标注，不充当自动切线求解器。

先固定坐标比例与圆外点

开一张横向一千六百乘一千二百的画布，先在笔记写数学坐标圆心O为零零、半径三、外点P为五零。选每单位一百画布单位，屏幕中心放在六百六百，数学纵轴向上，屏幕纵坐标向下。于是圆直径六百，P落在一千一百六百。用形状入口画圆并保留中心十字，另开辅助线、切线与文字层，先写OP等于五大于半径三，确保本次确实从圆外出发；不要凭放大后的视觉间隙确定点的位置。

由半径垂直条件手算切点

把未知切点T写成横坐标x、纵坐标y。圆上条件是x平方加y平方等于九；OT垂直PT给出x乘五减x再减y平方等于零，两式合并得五x等于九。所以两切点横坐标都是一点八，纵坐标分别正二点四和负二点四。参照欧几里得第三卷切线构造理解从给定点作切线的问题，本课坐标算法是自己的核算过程，不声称古文使用这些小数或应用提供同名计算按钮。

落下两点再连接半径与切线

将上切点放在屏幕七百八十、三百六十，下切点放在七百八十、八百四十，分别标T上和T下。先连O到两点，再从P连到两点，线段端点必须共用同一位置，不能把圆周外侧另一颗装饰点误当接触点。节点编辑时放大检查三条路径在切点处的身份：圆周经过此处，半径到此结束，切线段也到此结束。圆周不要在切点处分成两段后留下缺口，标点圆可放在独立层以免遮挡错误接续。

先核圆上再核切线垂直

分别代入一点八平方加二点四平方，得到三点二四加五点七六等于九，确认两点在圆上。上点到P的向量为三点二、负二点四，与半径向量一点八、二点四的点积是五点七六减五点七六等于零。下点则是三点二、二点四对一点八、负二点四，同样抵消。右角符号只在这两个交点旁画，不能把任意一条线看起来很陡就标垂直，也不能只证明一边后把另一边未经核算称为实测正确。

把四长切线与五长连心分开

每条切线段长度由三点二平方加二点四平方开平方得到四；也可从直角三角形用五平方减三平方开平方复核。标注时四写在PT两段，五写在OP，三写在半径，不能把五当成切线长，也不要把两段四相加成圆外点到圆的最短距离。最近距离沿OP为二，本课只在旁注解释不同量的身份。还可将外点改为圆心做边界对照，此时不能沿用两条实切线，因为点已在圆内；原式中的外距也不再是五。给三种量用不同引线位置，黑白稿仍靠字母判断，不靠颜色猜某条线代表什么。

制作过圆内部的割线错例

在右侧另复制一份不带验收标记的图，从P向圆心方向画水平线穿过圆，标它与圆周有两个交点，因此是割线而非本课切线。原切线延长后也须只有一个圆周交点，不能为了让线更显眼就手动弯成沿圆一小段的贴边线。错例和正例分组命名，清楚写一条是几何直线、一条是圆周曲线。图中若保留辅助圆或直径，淡化并注明身份，避免读者数出额外交点后误判原来两切线。

排查移动圆心后只修了一侧

若移动圆心或缩放圆，先检查是否把P和两切点一起纳入同一等比变换；只放大圆而保持所有点不动，会使旧切线失效。重新读坐标再代回两个条件，不以撤销后看着接近为通过。若应用没有精确坐标入口，用网格手工定位并注明图示近似，纸面结果仍用精确数值。输出后检查细小右角符号和小数点，描边粗细造成的相接观感不作为相切证明，更不能从这幅静图推断轨迹、摩擦或材料加工精度。

重开按两切点和两长度验收

保存原稿，退出作品再重开，先隐藏文字答案层，从O、P与两点的位置反写半径三、外距五和两切线长四。然后开启答案层，逐项核圆上条件、两个零点积和左右相等长度，并确认坐标纵向翻转只发生在显示换算。打开最终输出，查看圆没有拉成椭圆、错例仍标割线、切点未被字母遮住。完成标准是别人可以按数值重建并复核两条切线；任何未检查的导出格式和设备表现都继续保留未验证状态。