VectorPaint 垂直平分线：用等半径圆弧核对交点与中点

找线段中点可以用数值，但本篇还要解释等半径圆弧为什么提供另一种检查。先画两圆和两交点，再连出垂直平分线，并用半径过小的反例核边界。它是手工几何说明，不假定应用有专门的尺规证明、约束求解或自动吸附到理论交点的功能。

先给线段端点与坐标约定

设画布一千二百乘九百，端点甲在三百、四百五十，乙在七百、四百五十，线段水平且长四百。画细线连接并标甲乙，坐标按画布横向向右、纵向向下增长。先把中点候选五百、四百五十写在外部记录，暂不靠它直接画正式垂线。端点与标签独立放清，避免把文字中心误当圆心。所有长度是练习坐标，不换算真实尺规精度；画布缩放改变观看大小，并不改变这两端的理论距离。

两圆采用相同的二百五十半径

分别以甲乙为心作半径二百五十的圆，直径五百。可用当前可见尺寸字段或独立外框参照核对，甲圆外框左上五十、二百，乙圆左上四百五十、二百，两者宽高都五百。不能一只按半径输入、另一只按直径输入。先保留完整圆作检查，再按需要只显示交点附近弧段。若只画两段弧而不保存圆心半径关系，后面曲线看似相交也无法说明采用了相同半径。普通椭圆若被非等比缩放，也不再符合这一步。

两交点分别在上方与下方

本例两交点为五百、三百与五百、六百。横向都距甲乙各二百，纵向相对原线分别一百五十，因此到任一圆心距离由二百与一百五十组成三四五比例，恰为二百五十。先按坐标检查圆弧与点是否吻合，再把两点标为丙丁。不要把接近交点的标签位置当成实际相交，也不因描边有宽度就宣布所有重叠像素都是同一精确点。若操作只能近似，保留图示近似与外部算式两个层次。

连接两交点再核中点

连接丙丁，得到横坐标五百的竖线，与甲乙水平线相交于五百、四百五十。相交点到甲乙各二百，所以既平分也垂直。图旁把两项性质分别写出，不只因两线看似十字就称垂直平分线。可保留两圆作淡色背景，正式线用清楚描边区分。若移动甲或乙，不只移动中点标签，圆心、交点、垂线全需重新构造；这些普通对象没有自动维护共同几何条件，分组也不能替代重算。

半径太小与恰好一半分别测试

另存两个错误条件对照：半径一百五十时，两圆半径和三百小于端点距四百，不相交；半径二百时，只在中点相切，没有上下两个不同交点。后一种即使碰到正确中点，也不能按本篇“两交点连线”的方法确定垂线。原二百五十版保留，不把三种情形画在同一层却不给身份。对照说明半径需大于线段一半，不是只要两圆半径一样就一定能构造。不要为了凑交点把小圆偷偷拉成椭圆。

只显示弧段时保留可追溯关系

正式图若想去掉多余圆周，可复制检查版并只显示交点附近弧段，甲乙圆心标记与等半径说明仍保留。丙丁不要被裁掉，连线应通过实际弧交叉位置。弧段不是独立自由曲线的装饰，节点调整后仍要回完整圆检查。若当前工具无法安全裁分圆，保留淡圆也可以，不要求找隐藏命令。删减只为阅读，不改变构造条件；交付时把完整圆检查版和简化版分别命名，避免别人只拿一堆短弧不知道从哪里来。

导出用坐标与视觉双重检查

保存原稿并导出PNG或PDF，实际打开核两圆是否被非等比拉伸、交点是否与垂线错开、甲乙标签是否遮住圆心。正常尺寸应读得出构造顺序，放大才检查描边端点，不把像素细节当无限精度。手工坐标网格若不交付主动隐藏，原生网格按实际输出另核。若只剩一交点，先看是否把另一处裁掉，不立刻改半径；若两圆大小不同，回对象尺寸而不是靠描边厚度补齐。

完成记录区分构造与证明范围

最后保留端点距四百、半径二百五十、两交点与中点坐标，以及两种退化对照。线不垂直先查交点是否真来自同两圆；虽垂直但不平分，查圆心与半径是否一致。不把画面漂亮当一般定理已由软件形式证明，也不把普通路径对象称为智能尺规。完成的是能复算的一个实例和清楚条件，换坐标后应重新执行相同步骤；通过此图不等于验证了所有几何对象精度或真实绘图仪性能。