VectorPaint 正四面体展开：把三份顶点配回同一个角

本课把四个相等三角形排成正四面体的一种展开图。重点是同一立体顶点会在平面上出现多份，以及两条边怎样配成一条接缝；它是静态拓扑与面积示意，不是可直接加工的包装刀模或应用自动折叠预览。

先画中央等边三角形

纸面取边长四，中央三角形A为零零、B为四零、C为二与二倍根号三。先用边长和高度确认它是等边，不能拿任意等腰三角形代替。画布选一千六百乘一千四百，保留负坐标区域的空间，比例每单位一百。使用数学纵向向上并记录到屏幕的换算，中央三边画成细折线身份，外轮廓与顶点文字另建层。参照欧几里得正四面体构造，只取其等边四面体对象，不将本课平面排法误写成原文完整作图。

沿三边各接一个外侧三角

在AB外侧加顶点D一为二、负二倍根号三；BC外侧加D二为六、二倍根号三；CA外侧加D三为负二、二倍根号三。连接ABD一、BCD二、CAD三，三片都朝中央三角外侧，不能把一片画到中央内部再以透明度解释重叠。逐片核三边长均四，中央与外片恰共一整边，没有缝也没有横移半边。此时平面有六个不同位置的顶点标记，D一D二D三暂时分别存在，不能提前把它们涂成一颗中心点。

给四张面和三道折边编号

将中央ABC标面零，三外片分别标面一、面二、面三。AB、BC、CA是展开中相邻两面共用的折边，外侧六段是待配对边界；每个折边只画一条线，不在两片对象边框叠加后误数成两道。先数四面、三条内部折边与六条外缘，共九个独立平面线段。四张三角各有三边的十二次出现，与九个独立线段不是同一个计数；写清三条内部边各出现两次，六条外缘各一次，正好合成十二。

逐对核对外缘接缝与端点

接缝分三对：AD一配AD三、BD一配BD二、CD二配CD三。每对都以同名A、B或C端相遇，另一端才是将要合并的D份本，不能把AD一配BD二只因长度相等。用三种线型或接缝编号一二三标示，黑白稿也能配对。折后D一、D二、D三合成同一顶点D，A、B、C各保留，所以立体共有四顶点，不是平面看到的六个，也不是每张三角三个顶点相加得到十二个。

由共面关系核六条立体边

中央三条折边AB、BC、CA折后仍各是一条立体边，外缘三对接缝再贡献AD、BD、CD，所以总共六边。四面各三边共十二次，除每边属于两面也得到六，可作为第二种检查。把ABC、ABD、BCD、CAD四组面名写在旁边，每条边都应恰出现两组，例如AB在ABC与ABD中；若某边只在一组出现，往往漏了外片或接缝配错。四减六加四等于二是此凸多面体的核对结果，不把它反过来当任意错排也必可折的证明。

面积保留而轮廓长度另算

边四的等边三角面积为四倍根号三，四片总面积十六倍根号三。平面展开图的六段外缘各长四，总边界长二十四；六条立体边的长度总和也恰好二十四，但这次数值相等来自本排法与边数，不能据此把外缘和立体边当成一组对象。可把AD一与AD三同时高亮，平面是两段，折合后只代表同一AD边；用这对具体对象再查计数身份。折边留在内部，不从面积减掉线条宽度。若另画粘贴耳或裁切余量，必须放到辅助副本并明确不属于四面表面积，本课未计算纸厚、折损或材料配合尺寸。

排查三角片镜放与接缝串号

先隐藏面色，只追中央三角和三片外侧区域，确认没有两片占同一区域。再从每个A、B、C分别沿两条外缘追到相应D份本，检查接缝编号是否一对一。若把D一D二D三误当三个独立立体角，回到合并记录修正，不要删掉一片面来迁就四顶点的答案。应用若没有三维折叠功能，就以纸面配对检验为限；手工纸样也应另记为是否实际制作，不能把一张静态展开图描述成已经完成物理折合测试。

重开按平面和立体两套数量验收

保存退出再重开，先从展开图数六处顶点位置、九条独立线段和四面，再按接缝合并成四顶点六边四面。请不看答案重新写三对外缘配对，确认端点身份没有换掉。最终输出保留折线图例、面编号、面积十六倍根号三及静态示意说明，细线不能与裁切外缘混为一类。任何尚未制作的纸样或未打开的导出格式都继续记为未验证；完成依据是边和面可以逐项追回，而不是漂亮轮廓自动保证能用于加工。