VectorPaint 对数螺线：按每转九十度半径加倍核间隔

本课不是此前等距螺线的固定径向步长，而是每转同样角度乘相同比例。用五个锚点和中间采样画对数螺线的近似示意，计算规则在外部保留；不把少量直线折点称为精确曲线，也不把自然物外观自动判成数学模型。

先定角度单位与乘法规则

纸面规定起点角零度、半径一，从正横轴逆时针转，每九十度半径加倍。因此半径函数可写二的角度除以九十次方，角度若换弧度必须连同分母改成二分之圆周率，不能把度数直接代到弧度公式。开一千八百见方画布，把中心放九百九百，每单位四十，最大半径十六占六百四十。先建四轴、采样点、近似曲线与文字层，并给一圈以内的方向箭头，避免屏幕纵轴向下让读者把递增方向看反。

按一圈列出五个径向锚点

在零、九十、一百八十、二百七十与三百六十度，半径依次一二四八十六。转成数学坐标分别是一零、零二、负四零、零负八、十六零。起点与末点方向相同却不是同一点，必须在正横轴分开放两点，不闭合成环。参照Wolfram对数螺线定义核指数径向关系，本例选用方便手算的倍增常数；不是该来源对任何实际贝壳、生长速度或作品比例的测量结论。

加入四十五度中间点再连线

每四十五度半径乘根号二，因此角四十五时坐标一一，一百三十五时负二二，二百二十五时负四负四，三百一十五时八负八。把这四点插入原五点之间，可减少只连接四轴点造成的粗折角；若还需要更平顺，继续按二十二点五度采样，半径倍率为四次根号二。所有采样必须由同一公式出发，不能为了视觉圆滑把外侧一个点随意拉近中心。曲线若用手柄拟合，旁注说明它经过采样点的程度与外部公式的精度不同。

比较相邻半径比和半径差

依次算二除一、四除二、八除四、十六除八，都等于二；相邻半径差却为一二四八，不恒定。在图旁开两行记录，第一行写倍率二保持，第二行写增量逐次变大。不能仅用“越往外越宽”代替规则，因为很多其他曲线也如此。再检查每半圈半径乘四，每整圈乘十六，作为从不同角步长复核同一模型的办法。描边宽度保持一致，图上看见的线间空白不是严格等同于径向差的任意法向距离。

另画固定增量的旧模型对照

在独立图区用同样五个角度，半径改成一二三四五，每九十度只加一。这是等距螺线的等角度等差采样，不是本课对数样本；第三个锚点已从负四零变成负三零，终点也只有五零。两图用相同单位比例并保留全部半径数，不能各自自动铺满框后再说外观宽窄证明增长关系。标题写等比与等差，完整规则写在图旁，避免与旧教程只换颜色、只换文件名而没有实质数学任务差异。

旋转与缩放关系只在规则内核对

把本模型从九十度开始的一段向回旋转九十度，再将半径除二，会回到对应的前一段，因为等角增量对应固定倍率。可选九十度半径二与零度半径一、一百八十度半径四与九十度半径二两对点示范。这里的自相似是本指数规则下的关系，不表示复制一条任意螺线再缩放都可重合，也不意味着图中每小段曲率相等。不要混淆缩放比二与新增圈数；本课只画一圈，超过三百六十度的部分尚未绘制就不能当成已有结果。

排查闭合末端与反向屏幕坐标

路径末端应停在十六零，不回到一零；若填充功能自动补了一条闭合边，应取消填充并检查路径编辑状态，保留开放曲线身份。数学九十度点在中心上方，屏幕位置九百八百二十，不应放到下方后仍写逆时针。放大检查最内半径一的点没有被中心标记盖住。若图像输出过小，先简化标签或扩大画幅，不以拖动锚点冒充重新计算。任何自然参照都另列观察对象，本练习不验证生物结构严格服从该倍率或角度。

重开按五半径与四倍率验收

保存原稿再退出重开，不看答案从四轴和箭头读出五个半径，核一二四八十六和四次倍率二，再抽查四十五度的一一与三百一十五度的八负八。对照图必须仍是一二三四五，并用同一比例展示。打开最终输出，确认开放末端、方向、负号和近似拟合说明都保留；没有检查的格式不写精确兼容。完成标准是读者能从角度复算半径并区分等比与等差模型，而不是应用自动识别了自然界对数螺线或生成了无限精度函数曲线。