VectorPaint 三次贝塞尔：三层中点与两端切向分别核对

本课从两个端点和两个控制点出发，手工构造三次贝塞尔的中点，再改变一个控制点观察哪端切向保持。它与二次曲线的一控制点、两层插值不同；所有插值在纸面完成，界面曲线和辅助折线各自留档。

先定四点及两端身份

纸面使用P零为零零、P一为二六、P二为六负二、P三为八四，按顺序连接控制折线。画布可取一千六百乘一千二百，每单位一百，原点放三百八百，数学纵向向上。两端P零与P三是曲线上点，P一与P二负责控制，不能只因名字中带点就标成曲线必须经过。把四点、控制折线、曲线、插值点和答案文字分层；先输入各点身份再调色，免得外观漂亮后却无法查出哪两个是节点、哪两个是控制柄端。

从三条边求第一层中点

取参数二分之一，在P零P一之间得A为一三，在P一P二之间得B为四二，在P二P三之间得C为七一。三条边都按同一参数取点，不能只取最长边的中点后目测另两处。用细线连接A到B及B到C，线条和原控制多边形区别开，但中点字母不要压在原顶点上。参照W3C三次贝塞尔路径确认三次段使用两控制点；这里的三层构造另以手算验证，不把控制折线直接描成最终曲线。

再求两点与最后一点

第二层取AB中点D为二点五、二点五，取BC中点E为五点五、一点五；第三层取DE中点F为四二。于是三次曲线在参数二分之一处经过四二，恰巧与本例第一层B重合，但身份不同，不能因此省掉第二层或声称所有三次中点总在两控制点的中点上。标注F与B同位的原因是本例坐标特殊，再给D、E画不同形状标记。换点以后若二者分开，不把新结果当作程序错误；验算规则应能解释重合与不重合两种情形。

用三分之二样本打破重合错觉

另取参数三分之二，每层都向各段右端走同样比例，第一层重新算为三分之四、四，三分之十四、三分之二，以及三分之二十二、二。第二层坐标分别是九分之三十二、九分之十六与九分之五十八、九分之十四。最后得二十七分之一百四十八、二十七分之四十四，约五点四八一和一点六三零。将完整分数写在纸面，图上用近似值，不以重合图像代替数值。

两端切向分别跟随相邻控制点

起点切向沿P零到P一，即二六方向；终点前进切向沿P二到P三，即二六方向，故本例两端平行但并不说明整段是一条直线。参照Apple路径说明核两控制点对三次曲线的角色。图上在两端画短切向箭头，终点不能画成P三指向P二而把前进方向反转。控制柄显示方向与数学导数方向要在记录里注明，界面柄朝向本身不作为自动切向验证。

只移动第二控制点做独立比较

复制一份，把P二从六负二改成六零，其他三点保持。起点切向仍为二六，终点改为二四；二分之一点的纵坐标增加控制点权重八分之三乘二，即四分之三，故新中点为四、二点七五。这个变化同时检查了局部端向与全段插值，不是给旧二次教程换一个名称。重画三层中点确认新F，保留原稿和新稿编号；不能同时移动终点以追求两端平行，否则无法判断本次单一控制点的作用。

排查把控制柄当额外曲线节点

用当前可见钢笔与节点入口画曲线时，先检查整段是否只有两个端节点，以及是否把控制点误点成额外折角。若无法精确放置控制柄，就把编辑画面标为近似示意，精确插值图仍独立保存；不要宣称界面执行了任意参数数值求点。隐藏辅助层后，检查主曲线没有被自动闭合成色块。端点控制柄若合并拖动到另一段，要另存副本再拆检，不让相邻曲线的联动修改污染本次四点比较。输出精度也不能仅靠放大截图推断。

重开按层数与切向变化验收

保存重开，依次复数四原点、三第一层点、二第二层点与一最终点，再读参数二分之一与三分之二的不同样本。原图中F与B同位必须仍有身份说明，新图中点四二点七五与终切向二四应能独立复算。关闭答案层后请自己重新做一次单点改动推算，确认只改P二、起点切向保持。打开交付文件检查负号、分母与箭头，保留数值近似范围及未验证格式说明；完成依赖明确构造，不依赖应用替读者求导或测曲率。