VectorPaint 二次贝塞尔示意：两层中点落到曲线而非控制顶点

贝塞尔控制点通常不等于曲线经过点。本课在VectorPaint用线段、点标和手工曲线做一张二次贝塞尔构造图，先核两层插值再整理画面；不假定当前版本有专门二次曲线按钮或自动中点证明工具。

先把控制点和曲线点分组

局部数学坐标设P零为零零、P一为四八、P二为八零，横向向右纵向向上，一单位七十像素。创建控制折线、一级点、二级点、曲线示意和说明五组。Berkeley二次贝塞尔教学材料说明逐层线性插值，本课使用自定三点而不复制题图。屏幕纵向若向下，摆放时反转纵值；顶点P一应在上方，不因输入坐标习惯让整张图倒过来却还用原来的上高下低文字。

控制折线不直接当成曲线

先画P零至P一至P二两条直段，用细灰线和实心控制点标身份，不把P零到P二的底边当第三条控制边。P一处折线尖顶高度八，只代表控制位置，曲线并不因此必须经过它。暂不画平滑弧，先核三点与两段的顺序，尤其P一不可误放成P二。若工具没有精确点输入，用旁边坐标表作为数学参照并标画面近似；不能靠拖拽看起来顺眼就宣称已验证任意贝塞尔参数。

参数二分之一先各取一层中点

当参数为二分之一，先在P零P一上取Q零为二四，再在P一P二上取Q一为六四，两点分别是各段中点。把两条原边各分成两段检查长度相等，Q零和Q一连成水平线。此时还只完成第一层，两点都不能直接叫整条曲线中点。若误只取P零与P二的中点，会得到四零，落在底边上，不是本次二层构造结果。给错点另画空心标记，说明它来自哪一条误用线段，不覆盖正确中点。

第二层中点得到四四

再取Q零Q一的中点R，得到四四，才是参数二分之一的曲线点。对照P一为四八，横坐标相同但高度相差四，不能把R直接拖到控制顶点上。把R的纵向引线与P一的引线分开，分别标曲线点与控制点。这里说参数中点，不表示已经证明R把曲线弧长分成完全相等两半；本例对称也不应被拿来推广到不对称曲线。先说明计算采用何种中间值，避免把中点一词跨不同对象使用。

四分之一和四分之三复算成对点

参数四分之一时，P零向P一走四分之一得一二，P一向P二走四分之一得五六；再从一二向五六走四分之一，结果二三。参数四分之三同法得到第一层三六与七二，第二层六三。把二三、四四、六三三点和两个端点列成五点审核表，不把参数等间隔当作沿弧长等间隔。先独立手算坐标再摆点，纵值三与四别因画面压缩被写成一样，近似曲线要围绕正确点检查。

曲线绘制精度与数学点分别报告

在五个审核点附近用现有钢笔或曲线入口画平滑示意，不把控制折线尖角照抄成最终弧。若没有精确控制点与曲线类型输入，明确标手工近似；经过五点的某条平滑线也不能单独证明整段就是唯一指定二次贝塞尔。图上保留两层中点线与数值，使数学构造可核，弧线只辅助阅读。不要把P一误当一个必须穿过的路径锚点；应用若采用别种贝塞尔表示，不能把它的全部手柄直接叫作本课这组三点。端点参数零与一应分别返回P零与P二，这可作为额外的代入核验。若手绘弧末端没落在对应端点，先修端点再看中间平滑度，不能只靠一处顶部看起来正确就接受全图。

排查一层停止和截图读数错误

若笔记把二四当最终点，回查是否只做完第一层；若得到四零，查是否用了端点底边；若得到四八，则查是否直接取控制顶点。三种错例各留来源，不能用一张模糊截图统称软件计算错了。导出后放大R与标签，若四四写到Q零旁，修引线而不是拖点迁就文字。检查折线与曲线颜色之外还有文字身份，灰度输出也可分辨。没有实际读取的软件坐标值不补进记录，图上近似与纸面精确各自保留。

重开按两层过程与五点验收

保存离开后重开，先隐藏平滑弧，从三控制点重新算半参数两层中点，再核四分之一与四分之三两点。恢复曲线示意时查看端点接续、顶部高度和近似声明，导出检查线若非交付内容则隐藏，审核稿另留。最后打开实际输出确认坐标文字未丢，源文件仍能编辑。验收是别人可复算二三、四四、六三并指出控制顶点为何不在曲线上，而不是把一条画得顺的弧线当成已经精确求解所有参数的证明。