VectorPaint 复合变换顺序：先剪切后倍高与反序得到不同点

同样做一次水平剪切和一次纵向缩放，交换顺序可以改变结果。本课分别执行两条数学变换链，再手工画中间态和终态，任务是核复合顺序与逆操作，不重复以前的剪拼面积证明，也不假定应用有自动矩阵计算。

先声明两种操作与起始点

在纸面定义剪切S为横坐标加纵坐标、纵坐标不变；倍高D为横坐标不变、纵坐标乘二。起始测试点P为二一，先不画终点，写清本课“先S后D”指先执行S得到中间点，再把中间结果交给D。开一千八百乘一千二百画布，左右两链各留三格位置，分别放原点、中间点与终点。每格使用同一数学原点和比例，页面中的框间间距不算平移操作；两种操作名称先固定，后面不能互换字母。

第一条链把剪切结果交给倍高

先S时，二一变成三一，因为二加一为三。再D时，使用中间点三一而不是原点二一，把纵坐标一变二，得到三二。用箭头P到P一到P二，箭头旁分别写S和D，旁注两次输入与输出。参照W3C坐标变换与矩阵理解复合映射背景，本文顺序始终按自然语言动作声明，不让读者仅凭矩阵从左读还是从右读猜题；界面上的菜单排序也不是本课计算顺序证据。

第二条链必须重新从原点开始

另从原P二一开始，先D得到二二，再S使用新纵坐标二加到横坐标二上，得到四二。终点三二与四二的纵坐标相同、横坐标差一，说明交换这两项操作确实改变本例结果。不能从第一条链终点三二接着做反序，那会变成四次变换；也不能在第二条链仍用旧纵坐标一进行剪切。给每条链自己的中间点名字，图上即使共用起点，也用清楚的分支箭头和输入记录避免把两次试验串成一长条。

用一般坐标解释差异来自哪里

对任意原点x、y，先S后D得到x加y、二y，先D后S得到x加二y、二y，横坐标差为y。于是原纵坐标为零的点在两套顺序下结果相同，但这不代表两变换对所有点可交换。补一个Q为三零，两链都到三零，作为局部相同的对照；再用P的非零纵坐标给出反例。将“某点相同”与“两个复合函数相同”分开写，不能凭一个落在横轴的点就误证交换性，也不能从P不同推出没有任何点会相同。

把矩形四点分别送入两条链

原矩形取A零零、B四零、C四二、E零二，第四顶点叫E以便与倍高操作D明确区分。先S后倍高的终点依次零零、四零、六四、二四；先倍高后S为零零、四零、八四、四四。两图底边都四、垂高都四，但上边水平位置不同。将四个原点一一对回各图同名顶点，不只比较外框；同底同高使两面积都十六，原矩形面积八，所以面积倍增相同不能证明两个复合结果是同一个图形。

逆操作必须颠倒先后再还原

第一条链的还原从终点三二开始，先把纵坐标除二回三一，再从横坐标减去当前纵坐标一，回二一。若先减纵坐标二得到一二，再除二得一一，就没有回原P。第二条链从四二还原则先逆剪切到二二，再逆倍高到二一。把正确逆链与错误逆链分开命名，不能把软件撤销按钮的历史行为当成数学逆式证明；这里验证的是明确公式的顺序，不声称任何编辑状态都能恢复或所有历史都保留。

排查中间态丢失与图框自动适配

若两图看起来一样，先核是否分别自动缩放到等大框，恢复共同单位比例，再检查上顶点六四与八四的差别。若结果都写三二，检查反序链是否错用原纵坐标，或复制答案后只改了箭头字母。当前应用没有对应变换入口时，可按算出的点手工放置并标近似，不冒称已运行原生剪切命令。中间态必须保留，只有两个终点截图无法说明执行了什么；输出检查数学字母与第四顶点名字不冲突，粗箭头也不能盖住关键的横坐标差。

重开按反例与两逆链独立验收

保存退出重开，遮住结论，从P二一分别算三一到三二与二二到四二，再用Q三零说明并非每点都分开。复数四顶点、核两面积十六，然后按相反顺序各自还原P，确认错误逆链停一一而不是原点。最终输出保留操作定义、每次输入、中间态和同面积不等同变换的解释；未检格式继续未知。完成是读者能够复现顺序差异及逆链，不是应用自动判断矩阵可交换，也不由面积相等推出任何实体材料过程等价。