VectorPaint 内接正六边形：用外接半径核六条边与六个等边三角

一个六边轮廓不一定是正六边形，六个点都落在圆上也还要核对间隔。本课用VectorPaint画半径四的内接正六边形，建立圆心、顶点与边中点三种参照，几何运算在纸面完成，不依赖虚构的自动证明入口。

固定外接圆和坐标方向

先建正方形画布，把O设为局部坐标原点，数学横轴向右、纵轴向上，一单位约八十像素。外接圆半径四，直径八，即六百四十像素。参考Illustrative Mathematics的内接六边形任务，这里采用六个等间隔圆周点及六个等边三角的定义关系，例子数值自行推算。屏幕纵坐标若向下，摆点时要反向映射，不把数学正上方的点直接填成屏幕更大的纵值。

六顶点先按顺序列出

从最右点开始逆时针，列A为四零，B为二与二倍根号三，C为负二与二倍根号三，D为负四零，E为负二与负二倍根号三，F为二与负二倍根号三。根号三约一点七三二，故上下两排纵坐标约正负三点四六四。精确根式留在笔记，画面输入约数或手动对点时写近似。不能为了六点容易选中就把它们改成等间距矩形阵列，那样已失去圆周与等边关系；先核位置再连边。

边界依次闭合而不接星形

按A到B到C到D到E到F再回A连接六条边，只沿相邻点行走，不跨过一个点画出六芒形。每条边在纸面应长四：例如AB横差负二、纵差二倍根号三，平方和四加十二等十六，开方为四。圆心到每个顶点也长四，这是本正六边形的特定性质，不推广为所有正多边形。若描边厚得遮住顶点，可以在审核稿画小点，不用把线条接向点的外缘制造小缺口。

圆心连顶点得到六个等边三角

在独立检查层从O连向六顶点，每对相邻射线夹角六十度，六份合三百六十度。每份的两条半径与一条边都长四，因此为等边三角，不是只凭看起来相似就写等面积。检查中心射线有没有误连到边中点，连中点会换成另一套分块。需要展示分色时六块仍共用同一O，不逐块手拖出缝隙后还声称填满原六角形。分块线是理解依据，交付是否保留由图例说清楚。

边中点垂距与外接半径分开

取上方水平边BC，中点为零与二倍根号三，O到此点垂直于BC，长度二倍根号三约三点四六四，是边心距。它比外接半径四小，不能把这个数写到边长标签上。用从O到B的一根斜引线标四，用从O到BC中点的竖线标边心距，颜色之外也用文字区分。若小图挤在一起，移出说明线而不是挪动顶点；标签排版改变不应修改原几何。数学垂距与屏幕上随便画的斜线要各自核对。

面积从一小块再核整个圆

一小块面积为底四乘高二倍根号三再除二，得四倍根号三，六块合二十四倍根号三，约四十一点五六九平方单位。外接圆面积十六乘圆周率，约五十点二六五，六边形约占百分之八十二点七。边长比例不能直接代替这个面积比例，圆周也不是六条直边之和。把精确式和约数分栏，约数只取三位小数时比较仍用同一舍入规则，不因为屏幕像素差就修改纸面正确结果。还可用周长复核：六边每条四，周长二十四，乘边心距二倍根号三再除二，仍得二十四倍根号三。这里的二十四一处是长度一处是面积系数，单位不同；若只看数字一样就说周长等面积，是把两个量混写。这个独立算路应在笔记保留，再回图上找每个量的具体所指。

排查不等角和圆变椭圆

导出后先看A与D是否仍在同一直径上，上下水平边是否平行，再查六边各长与六条半径。若整组被横向拉伸，圆变椭圆，边长与等边三角关系已不保留，不能只把圆形名称改掉就继续用原数。若仅有一个顶点偏移，回到该点及相邻两边修正，别调整另五点共同迁就错误。核完结构再整理描边、分色和标签，保留审核圆与中心线副本，未打开的输出格式不记通过。

重开按顶点边心和面积验收

保存退出再重开，沿A至F回A追一圈，再从O分别指向顶点和边中点，说明四与二倍根号三代表不同距离。交付图至少保留一个半径、一个边心距及面积单位，检查线要隐藏或有图例，不把它们误作额外六条外边。最后实际打开输出，确认根式说明与近似值可读。完成是他人能用六个等边三角复算正六边形，并识别近似绘制的限制，不是宣称应用已自动验证所有边角或给出加工级精度。